Aula 6 - Diagrama dos Esforços Normal e Cortante

Aula Completa: Dimensionamento de um Pórtico de Concreto Armado com Vão de 10 metros e Altura de 5 metros Utilizando Aço CA-50

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Introdução

Nesta aula, vamos desenvolver um passo a passo completo para o dimensionamento de um pórtico de concreto armado com vão de 10 metros e altura de 5 metros, utilizando aço CA-50. Abordaremos detalhadamente cada etapa do cálculo, desde a definição dos dados iniciais, cálculo das cargas atuantes, análise estrutural, dimensionamento das seções de concreto, dimensionamento das armaduras de aço, até a especificação final dos materiais a serem utilizados. Nosso objetivo é assegurar que a estrutura atenda aos requisitos de segurança, desempenho e durabilidade conforme as normas brasileiras (ABNT NBR 6118).

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Passo 1: Definição dos Dados Iniciais

Geometria do Pórtico:

• Vão Livre (L): 10 metros
• Altura dos Pilares (H): 5 metros
• Configuração: Pórtico retangular simples com vigas e pilares de seção constante.

Materiais:

• Concreto:

  • Resistência característica à compressão: \( f_{ck} = 25 \) MPa
  • Módulo de Elasticidade: \( E_c = 25 \times 5600 \sqrt{f_{ck}} = 25 \times 5600 \sqrt{25} = 25 \times 5600 \times 5 = 700,000 \) MPa

• Aço CA-50:

  • Resistência característica ao escoamento: \( f_{yk} = 500 \) MPa
  • Tensão de cálculo: \( f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} = \frac{500}{1.15} = 434.78 \) MPa
  • Módulo de Elasticidade: \( E_s = 210,000 \) MPa

Condições de Apoio:

• Base dos Pilares: Engastada (fixa na fundação)
• Ligação Viga-Pilar: Rígida (nós rígidos)

Cobrimentos e Diâmetros:

• Cobrimento nominal dos elementos estruturais (c): 3 cm
• Diâmetros iniciais das barras de aço:
  • Vigas: \( \phi_{viga} = 25 \) mm
  • Pilares: \( \phi_{pilar} = 20 \) mm
  • Estribos: \( \phi_{estribo} = 8 \) mm

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Passo 2: Cálculo das Cargas Atuantes

Carga Permanente (G):

• Peso Próprio das Vigas e Pilares:
  • Densidade do concreto armado: \( \gamma_c = 25 \) kN/m³

• Dimensões Iniciais Estimadas:

  • Seção da Viga: Largura (b) = 30 cm; Altura (h) = 70 cm
  • Seção do Pilar: Largura (b) = 30 cm; Altura (h) = 70 cm

• Peso Próprio da Viga:

\[ g_{viga} = \gamma_c \times A_{viga} = 25 \times (0.3 \times 0.7) = 25 \times 0.21 = 5.25 \text{ kN/m} \]

Carga Acidental (Q):

• Sobrecarga de Uso na Cobertura:
  • Considerando uma sobrecarga para coberturas acessíveis para manutenção:

\[ q_{telhado} = 1.5 \text{ kN/m}^2 \]

• Área Tributária da Viga:
  • Considerando uma distância entre pórticos de 5 m (para cobrir toda a área):

\[ \text{Área Tributária} = 5 \text{ m} \]

• Carga Distribuída na Viga devido à Sobrecarga:

\[ q_{viga} = q_{telhado} \times \text{Área Tributária} = 1.5 \times 5 = 7.5 \text{ kN/m} \]

Carga Total na Viga: - Carga Permanente Total:

\[ G = g_{viga} = 5.25 \text{ kN/m} \]

• Carga Acidental Total:

\[ Q = q_{viga} = 7.5 \text{ kN/m} \]

• Carga Total (quase permanente):

\[ q_{\text{total}} = G + Q = 5.25 + 7.5 = 12.75 \text{ kN/m} \]

Coeficientes de Majoração de Ações (γf): - Para Estado Limite Último (ELU):

\[ \gamma_{f,G} = 1.4 \quad (\text{Cargas Permanentes}) \]

\[ \gamma_{f,Q} = 1.4 \quad (\text{Cargas Acidentais}) \]

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Passo 3: Análise Estrutural

Esforços na Viga:

• Momento Fletor Máximo na Viga (Centro do Vão):

\[ M_{viga} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{8} = \frac{12.75 \times 10^2}{8} = \frac{12.75 \times 100}{8} = 159.375 \text{ kN.m} \]

• Esforço Cortante Máximo na Viga (Nos Apoios):

\[ V_{viga} = \frac{q_{\text{total}} \times L}{2} = \frac{12.75 \times 10}{2} = 63.75 \text{ kN} \]

Esforços nos Pilares:

• Reação Vertical em Cada Pilar (Devido à Viga):

\[ R_{vertical} = V_{viga} = 63.75 \text{ kN} \]

• Carga Axial nos Pilares (Considerando Peso Próprio):
  • Peso Próprio do Pilar:

\[ g_{pilar} = \gamma_c \times A_{pilar} = 25 \times (0.3 \times 0.7) = 25 \times 0.21 = 5.25 \text{ kN/m} \]

• Carga Axial Total no Pilar:

\[ N_{pilar} = R_{vertical} + g_{pilar} \times H = 63.75 + 5.25 \times 5 = 63.75 + 26.25 = 90 \text{ kN} \]

• Momento Fletor no Topo do Pilar (Devido à Ligação Rígida com a Viga):
  • Momento no Apoio da Viga:

\[ M_{\text{apoio}} = \frac{q_{\text{total}} \times L^2}{12} = \frac{12.75 \times 100}{12} = 106.25 \text{ kN.m} \]

Esse momento é transferido para o topo do pilar.

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Passo 4: Dimensionamento da Viga

Estado Limite Último (ELU):

• Momento Fletor de Cálculo (Considerando os Coeficientes de Majoração):

\[ M_{sd} = \gamma_{f,G} \times G \times \frac{L^2}{8} + \gamma_{f,Q} \times Q \times \frac{L^2}{8} = 1.4 \times 5.25 \times \frac{100}{8} + 1.4 \times 7.5 \times \frac{100}{8} \]

\[ M_{sd} = 1.4 \times 65.625 + 1.4 \times 93.75 = 91.875 + 131.25 = 223.125 \text{ kN.m} \]

Dimensionamento à Flexão Simples:

• Dimensões da Seção da Viga:

  • Largura (b): 30 cm
  • Altura (h): 70 cm
  • Altura útil (d): \( d = h - c - \phi_{long} / 2 = 70 - 3 - 2.5 = 64.5 \text{ cm} \)

• Verificação do Momento Resistente da Seção:

  • Domínio 3 (Flexão Simples):
  • Parâmetro \( k_{x} \):

\[ k_{x} = \frac{M_{sd}}{b \times d^2 \times f_{cd}} = \frac{223.125 \times 10^3}{30 \times 64.5^2 \times 17} = \frac{223125}{30 \times 4160.25 \times 17} = \frac{223125}{30 \times 4160.25 \times 17} \]

Calculando \( f_{cd} = \frac{f_{ck}}{\gamma_c} = \frac{25}{1.4} = 17.857 \) MPa (aproximamos para 17 MPa para segurança).

\[ k_{x} = \frac{223125}{30 \times 4160.25 \times 17} = \frac{223125}{2,121,129.25} \approx 0.105 \]

• Verificando se \( k_{x} \leq k_{x,\text{lim}} \) (para Domínio 3):

\[ k_{x,\text{lim}} = 0.45 \]

Como \( 0.105 \leq 0.45 \), estamos no Domínio 3.

• Cálculo da Linha Neutra (x):

\[ x = k_{x} \times d = 0.105 \times 64.5 = 6.77 \text{ cm} \]

• Braço de Alavanca (z):

\[ z = d - 0.4 \times x = 64.5 - 0.4 \times 6.77 = 64.5 - 2.708 = 61.792 \text{ cm} \]

• Cálculo da Área de Aço Necessária (As):

\[ As = \frac{M_{sd}}{z \times f_{yd}} = \frac{223.125 \times 10^3}{61.792 \times 434.78} = \frac{223125}{26,879.13} \approx 8.3 \text{ cm}^2 \]

Dimensionamento da Armadura de Flexão:

• Escolha das Barras:

  • Utilizando barras de \( \phi_{20} \) mm (área por barra \( A_{\phi_{20}} = 3.14 \) cm²):

\[ n = \frac{As}{A_{\phi_{20}}} = \frac{8.3}{3.14} \approx 2.64 \]

• Adotamos 3 barras de \( \phi_{20} \) mm na armadura inferior.

• Área real de aço fornecida:

\[ As_{\text{real}} = 3 \times 3.14 = 9.42 \text{ cm}^2 \]

A área de aço fornecida é maior que a necessária, o que é aceitável.

Verificação da Armadura Mínima e Máxima:

• Armadura Mínima (As,min):

\[ As_{\text{min}} = 0.0015 \times b \times d = 0.0015 \times 30 \times 64.5 = 2.9 \text{ cm}^2 \]

• Como \( As_{\text{real}} = 9.42 \text{ cm}^2 > As_{\text{min}} \), está ok.

• Armadura Máxima (As,max):

\[ As_{\text{max}} = 0.04 \times b \times d = 0.04 \times 30 \times 64.5 = 77.4 \text{ cm}^2 \]

Como \( As_{\text{real}} = 9.42 \text{ cm}^2 < As_{\text{max}} \), está ok.

Armadura de Compressão (Armadura Superior):

• Devido ao momento negativo nos apoios (engastamento), é necessário prever armadura superior.
• Momento no Apoio:

\[ M_{\text{apoio,sd}} = \gamma_{f,G} \times M_{\text{apoio,G}} + \gamma_{f,Q} \times M_{\text{apoio,Q}} = 1.4 \times 43.75 + 1.4 \times 62.5 = 61.25 + 87.5 = 148.75 \text{ kN.m} \]

• Cálculo da Armadura Superior (As'):

\[ As' = \frac{M_{\text{apoio,sd}}}{z \times f_{yd}} = \frac{148.75 \times 10^3}{61.792 \times 434.78} \approx 5.5 \text{ cm}^2 \]

• Escolha das Barras:
• Utilizando barras de \( \phi_{20} \) mm:

\[ n' = \frac{As'}{A_{\phi_{20}}} = \frac{5.5}{3.14} \approx 1.75 \]

• Adotamos 2 barras de \( \phi_{20} \) mm na armadura superior.
• Área real de aço fornecida:

\[ As'_{\text{real}} = 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ cm}^2 \]

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Passo 5: Verificação ao Cisalhamento na Viga

Esforço Cortante de Cálculo (Vsd):

\[ V_{sd} = \gamma_{f,G} \times V_{G} + \gamma_{f,Q} \times V_{Q} = 1.4 \times 26.25 + 1.4 \times 37.5 = 36.75 + 52.5 = 89.25 \text{ kN} \]

Resistência ao Cisalhamento do Concreto (Vrd2):

\[ V_{rd2} = 0.27 \times f_{cd} \times b \times d = 0.27 \times 17 \times 30 \times 64.5 = 0.27 \times 17 \times 1935 = 0.27 \times 32,895 = 8,881.65 \text{ kN} \]

Valor irrealisticamente alto, indicando que o concreto sozinho não resistirá ao esforço cortante, logo, é necessário dimensionar estribos.

Dimensionamento dos Estribos:

• Tensão de Cisalhamento (τ):

\[ \tau = \frac{V_{sd}}{b \times d} = \frac{89.25 \times 10^3}{30 \times 64.5} = \frac{89,250}{1,935} \approx 46.1 \text{ kN/m} \]

• Armadura Transversal Necessária (Asw):

\[ Asw / s = \frac{V_{sd}}{0.9 \times d \times f_{yd}} = \frac{89,250}{0.9 \times 64.5 \times 434.78} \approx \frac{89,250}{25,313.91} \approx 3.53 \text{ cm}^2/m \]

• Escolha dos Estribos:
  • Utilizando estribos duplos de \( \phi_{8} \) mm (área por estribo \( A_{\phi_{8}} = 0.50 \) cm²):
  • Espaçamento (s):

\[ s = \frac{2 \times A_{\phi_{8}}}{Asw / s} = \frac{2 \times 0.50}{3.53} \approx \frac{1}{3.53} \approx 0.283 \text{ m} = 28.3 \text{ cm} \]

Adotamos espaçamento de 20 cm (para maior segurança).

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Passo 6: Verificação de Deformações na Viga

Limite de Flecha Admissível:

\[ \delta_{\text{adm}} = \frac{L}{250} = \frac{10,000}{250} = 40 \text{ mm} \]

Cálculo da Flecha Instantânea: - Momento de Inércia (I):

\[ I = \frac{b \times h^3}{12} = \frac{30 \times 70^3}{12} = \frac{30 \times 343,000}{12} = \frac{10,290,000}{12} = 857,500 \text{ cm}^4 \]

• Módulo de Elasticidade do Concreto (E_c): Já calculado anteriormente como 25,000 MPa
• Flecha Máxima (viga biapoiada):

\[ \delta_{\text{máx}} = \frac{5 q_{\text{total}} L^4}{384 E_c I} = \frac{5 \times 12.75 \times 10^3 \times 10^4}{384 \times 25,000 \times 857,500} \]

\[ \delta_{\text{máx}} = \frac{5 \times 12,750 \times 10000}{384 \times 25,000 \times 857,500} = \frac{637,500,000}{8,250,000,000,000} \approx 0.077 \text{ m} = 77 \text{ mm} \]

Como \( \delta_{\text{máx}} = 77 \text{ mm} > \delta_{\text{adm}} = 40 \text{ mm} \), precisamos aumentar a rigidez da viga.

Ajuste das Dimensões da Viga:

• Aumentar a altura da viga para reduzir a flecha. Vamos tentar h = 80 cm:
  • Novo momento de inércia:

\[ I_{\text{novo}} = \frac{30 \times 80^3}{12} = \frac{30 \times 512,000}{12} = 1,280,000 \text{ cm}^4 \]

- Nova flecha máxima:

\[ \delta_{\text{máx,novo}} = \frac{5 \times 12,750 \times 10000}{384 \times 25,000 \times 1,280,000} = \frac{637,500,000}{12,288,000,000,000} \approx 0.0518 \text{ m} = 51.8 \text{ mm} \]

• Ainda acima do admissível.

• Tentar h = 90 cm:

  • Novo momento de inércia:

\[ I_{\text{novo}} = \frac{30 \times 90^3}{12} = \frac{30 \times 729,000}{12} = 1,822,500 \text{ cm}^4 \]

- Nova flecha máxima:

\[ \delta_{\text{máx,novo}} = \frac{637,500,000}{17,062,500,000,000} \approx 0.0374 \text{ m} = 37.4 \text{ mm} \]

Agora, \( \delta_{\text{máx}} = 37.4 \text{ mm} < \delta_{\text{adm}} = 40 \text{ mm} \).

Atualização das Dimensões e Recalculando a Armadura:

• Dimensões Atualizadas da Viga:

  • Largura (b): 30 cm
  • Altura (h): 90 cm
  • Altura útil (d): \( d = 90 - 3 - 2.5 = 84.5 \text{ cm} \)

• Recalculando \( k_{x} \):

\[ k_{x} = \frac{M_{sd}}{b \times d^2 \times f_{cd}} = \frac{223125}{30 \times 84.5^2 \times 17} \approx 0.059 \]

\[x = k_{x} \times d = 0.059 \times 84.5 = 5 \text{ cm}\]

\[z = d - 0.4 \times x = 84.5 - 0.4 \times 5 = 82.5 \text{ cm}\]

• Nova Área de Aço Necessária (As):

\[ As = \frac{M_{sd}}{z \times f_{yd}} = \frac{223125}{82.5 \times 434.78} \approx 6.23 \text{ cm}^2 \]

• Escolha das Barras:

  • Utilizando 2 barras de \( \phi_{20} \) mm:

\[ As_{\text{real}} = 2 \times 3.14 = 6.28 \text{ cm}^2 \]

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Passo 7: Dimensionamento dos Pilares

Esforços Solicitantes nos Pilares:

• Esforço Normal de Cálculo (Nsd):

\[ N_{sd} = \gamma_{f,G} \times N_{g} + \gamma_{f,Q} \times N_{q} = 1.4 \times 90 + 1.4 \times 0 = 126 \text{ kN} \]

 - **Consideramos apenas carga permanente no pilar para simplificar.**

• Momento Fletor de Cálculo (Msd):

\[ M_{sd} = M_{\text{apoio,sd}} = 148.75 \text{ kN.m} \]

Dimensionamento à Flexo-Compressão:

• Parâmetros:
  • Largura (b): 30 cm
  • Altura (h): 90 cm
  • Altura útil (d): \( d = 90 - 3 - 2 = 85 \text{ cm} \)
  • Parâmetro \( \nu = \frac{N_{sd}}{b \times h \times f_{cd}} = \frac{126 \times 10^3}{30 \times 90 \times 17} = \frac{126,000}{45,900} \approx 2.74 \)
• Cálculo da Taxa de Armadura Necessária:
  • Utilizando diagramas de interação ou métodos simplificados da NBR 6118.
  • Para este exemplo, adotaremos uma taxa de armadura de 1%:

\[ As = 0.01 \times b \times h = 0.01 \times 30 \times 90 = 27 \text{ cm}^2 \]

Escolha das Barras de Aço:

• Utilizando barras de \( \phi_{20} \) mm:

\[ n = \frac{As}{A_{\phi_{20}}} = \frac{27}{3.14} \approx 8.6 \]

Adotamos 8 barras de \( \phi_{20} \) mm.

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• Distribuição das Barras:
  • 2 barras em cada face, totalizando 8 barras.

Armadura Transversal (Estribos):

Utilizando estribos de \( \phi_{8} \) mm a cada 15 cm.

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Passo 8: Detalhamento das Ligações e Engastamento

Engastamento na Base dos Pilares:

• Prolongamento das Armaduras Longitudinais para Dentro da Fundação:

  • Comprimento de ancoragem (\( l_{b} \)) conforme NBR 6118.

  • Cálculo do Comprimento de Ancoragem:

\[ l_{b} = \alpha_{1} \times \alpha_{2} \times \alpha_{3} \times \alpha_{5} \times \frac{\phi}{4} \times \frac{f_{yd}}{f_{bd}} \]

• Onde \( f_{bd} \) é a tensão de aderência de cálculo.

• Para simplificar, adotamos um comprimento mínimo de 60 cm.

Ligação Viga-Pilar:

• Continuidade das Armaduras Longitudinais da Viga sobre o Pilar:
  • As barras superiores da viga devem ser ancoradas dentro do pilar com comprimento adequado.
• Detalhamento dos Estribos na Região do Nó:
  • Aumentar a densidade de estribos na região da ligação para resistir aos esforços concentrados.

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Passo 9: Especificação Final dos Materiais

1. Vigas:

2. Dimensões:

   • Largura (b): 30 cm
   • Altura (h): 90 cm
3. Armadura Longitudinal Inferior:
   • 2 barras de \( \phi_{20} \) mm (área total de 6.28 cm²)
4. Armadura Longitudinal Superior (Nos Apoios):
   • 2 barras de \( \phi_{20} \) mm (área total de 6.28 cm²)

5. Armadura Transversal (Estribos):

   • Estribos duplos de \( \phi_{8} \) mm a cada 20 cm no vão e a cada 10 cm nos apoios.

6. Pilares:

7. Dimensões:

   • Largura (b): 30 cm
   • Altura (h): 90 cm
8. Armadura Longitudinal:
   • 8 barras de \( \phi_{20} \) mm (área total de 25.12 cm²)

9. Armadura Transversal (Estribos):

   • Estribos de \( \phi_{8} \) mm a cada 15 cm, reduzindo para 10 cm nas extremidades dos pilares (regiões críticas).

10. Aço Utilizado:

11. Tipo de Aço: CA-50

12. Especificações:

    • Barras de \( \phi_{20} \) mm: Utilizadas nas armaduras longitudinais das vigas e pilares.
    • Barras de \( \phi_{8} \) mm: Utilizadas nos estribos das vigas e pilares.

13. Concreto:

14. Classe: C25 (fck = 25 MPa)

15. Cobrimento Nominal:
    • 3 cm para vigas e pilares.

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Conclusão

Realizamos um dimensionamento completo e detalhado de um pórtico de concreto armado com vão de 10 metros e altura de 5 metros, utilizando aço CA-50. O dimensionamento considerou todas as etapas necessárias, desde o cálculo das cargas atuantes até a especificação final dos materiais. Foram definidos os detalhes construtivos das armaduras, incluindo tipos, diâmetros, quantidades e espaçamentos, garantindo o atendimento aos requisitos normativos da ABNT NBR 6118.

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Referências

• ABNT NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento.
• ABNT NBR 6120: Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações.
• Manual de Dimensionamento de Estruturas de Concreto Armado.
• Tabela de Bitolas de Aço CA-50.