Exemplo de Cálculo de Pilar com Esbeltez e Coeficientes de Segurança

Dados do problema:

Comprimento livre do pilar (\( L_0 \)): 4,0 metros
Seção transversal do pilar: 20 cm x 40 cm (largura \( b \) x altura \( h \))
Classe do concreto: C30 (\( f_{ck} = 30 \, \text{MPa} \))
Aço utilizado: CA-50 (\( f_{yk} = 500 \, \text{MPa} \))
Carga axial característica atuante (\( N_k \)): 800 kN
Condições de contorno: Engastado na base e livre no topo (pilar em balanço)

Passo a Passo do Cálculo

1. Determinação dos Esforços de Cálculo

1.1. Esforço Normal de Cálculo (\( N_{sd} \)):

Utilizando os coeficientes parciais de segurança das ações:

Para cargas permanentes (\(\gamma_g\)): 1,4
Para cargas variáveis (\( \gamma_q \)): 1,4 ou 1,5 (usaremos 1,4 para simplificar)

Supondo que toda a carga seja permanente:

\[ N_{sd} = \gamma_g \times N_k = 1,4 \times 800 = 1120 \, \text{kN} \]

2. Determinação das Propriedades da Seção

2.1. Área da Seção (\( A_c \)):

\[ A_c = b \times h = 0,20 \times 0,40 = 0,08 \, \text{m}^2 \]

2.2. Momento de Inércia (\( I \)):

Calculado em relação ao eixo menos rígido (eixo "y"):

\[ I_y = \dfrac{b \times h^3}{12} = \dfrac{0,20 \times (0,40)^3}{12} = 0,0010667 \, \text{m}^4 \]

Casos de Comprimento Efetivo Conforme a Norma NBR 6118

O comprimento efetivo (\( L_{ef} \)) de um pilar é um parâmetro crucial no cálculo da esbeltez e na consideração dos efeitos de segunda ordem em estruturas de concreto armado. A NBR 6118:2014 - Projeto de estruturas de concreto — Procedimento estabelece diretrizes para determinar o comprimento efetivo dos pilares com base nas condições de contorno e nos tipos de ligação em seus extremos.

A seguir, apresentamos os principais casos de comprimento efetivo conforme a norma, incluindo os fatores de comprimento efetivo (\( k \)) para diferentes condições de apoio.

1. Ambos os Extremos Engastados

Condições de Contorno: O pilar está rigidamente conectado em ambos os extremos, impedindo rotações e translações (engastamento perfeito).
Fator de Comprimento Efetivo (\( k \)): 0,5
Comprimento Efetivo (\( L_{ef} \)):

\[ L_{ef} = k \times L_0 = 0,5 \times L_0 \]

Aplicação Típica: Pilares internos conectados a vigas e lajes que proporcionam alto grau de rigidez nas ligações.

2. Um Extremo Engastado e Outro Articulado

Condições de Contorno: Um extremo do pilar é engastado, impedindo rotações e translações, enquanto o outro extremo é articulado, permitindo rotações mas impedindo translações horizontais.
Fator de Comprimento Efetivo (\( k \)): 0,7
Comprimento Efetivo (\( L_{ef} \)):

\[ L_{ef} = 0,7 \times L_0 \]

Aplicação Típica: Pilares onde um extremo está rigidamente conectado a uma fundação ou viga robusta, e o outro extremo está conectado a uma viga ou laje menos rígida.

3. Ambos os Extremos Articulados

Condições de Contorno: Os dois extremos do pilar são articulados, permitindo rotações mas impedindo translações horizontais (apoio simples).
Fator de Comprimento Efetivo (\( k \)): 1,0
Comprimento Efetivo (\( L_{ef} \)):

\[ L_{ef} = L_0 \]

Aplicação Típica: Pilares em estruturas onde as ligações não proporcionam rigidez suficiente para impedir rotações, como em estruturas provisórias ou andaimes.

4. Um Extremo Engastado e Outro Livre (Pilar em Balanço)

Condições de Contorno: Um extremo do pilar é engastado, enquanto o outro extremo está livre para translações e rotações.
Fator de Comprimento Efetivo (\( k \)): 2,0
Comprimento Efetivo (\( L_{ef} \)):

\[ L_{ef} = 2,0 \times L_0 \]

Aplicação Típica: Pilares em balanço, como pilares de fachada ou elementos de sustentação em marquises.

5. Pilares com Condições de Contorno Intermediárias

Quando as condições de contorno não se enquadram perfeitamente nos casos anteriores, ou quando há flexibilidade nas ligações, a norma permite o cálculo do comprimento efetivo utilizando coeficientes que consideram a rigidez relativa das ligações nos extremos do pilar.

Cálculo Geral do Comprimento Efetivo

A expressão geral para o cálculo do comprimento efetivo é:

\[ L_{ef} = L_0 \times \sqrt{\dfrac{\pi^2}{\beta_1 + \beta_2}} \]

Onde:

\( \beta_1 \) e \( \beta_2 \) são os coeficientes de restrição rotacional nas extremidades do pilar, dados por:

\[ \beta = \dfrac{M}{\theta \times E_c \times I} \]

\( M \): Momento fletor na extremidade.
\( \theta \): Rotação na extremidade.
\( E_c \): Módulo de elasticidade do concreto.
\( I \): Momento de inércia da seção transversal do pilar.

Esses coeficientes podem ser determinados por meio de análises estruturais detalhadas ou utilizando tabelas e abacos fornecidos na norma.

6. Tabela Resumida dos Fatores de Comprimento Efetivo

Condições de Contorno	Fator \( k \)	Comprimento Efetivo \( L_{ef} \)
Ambos os extremos engastados	0,5	\( L_{ef} = 0,5 \times L_0 \)
Um extremo engastado e outro articulado	0,7	\( L_{ef} = 0,7 \times L_0 \)
Ambos os extremos articulados	1,0	\( L_{ef} = 1,0 \times L_0 \)
Um extremo engastado e outro livre	2,0	\( L_{ef} = 2,0 \times L_0 \)

2.3. Raio de Giração (\( i \)):

\[ i = \sqrt{\dfrac{I}{A_c}} = \sqrt{\dfrac{0,0010667}{0,08}} = 0,1155 \, \text{m} \]

3. Cálculo da Esbeltez (\( \lambda \))

De acordo com a NBR 6118, os pilares são classificados quanto à esbeltez (λ) da seguinte forma:

Classificação dos Pilares quanto à Esbeltez

Classificação	Índice de Esbeltez (λ)
Pilares Curtos	λ < 35
Pilares Medianamente Esbeltos	35 ≤ λ < 90
Pilares Esbeltos	90 ≤ λ < 140
Pilares Muito Esbeltos	140 ≤ λ ≤ 200

É importante notar alguns pontos adicionais:

O índice de esbeltez é calculado pela fórmula: λ = le / i, onde le é o comprimento de flambagem e i é o raio de giração da seção transversal.
A norma estabelece que os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200).
Existe uma exceção para postes com força normal menor que 0,10 fcd x Ac, onde o índice de esbeltez pode ser maior que 200.
O valor limite do índice de esbeltez λ1, abaixo do qual os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados, é calculado por uma fórmula específica e depende de fatores como a excentricidade relativa de 1ª ordem e a vinculação dos extremos da coluna.

3.1. Comprimento Efetivo (\( L_{ef} \)):

Para um pilar em balanço:

\[ L_{ef} = 2 \times L_0 = 2 \times 4,0 = 8,0 \, \text{m} \]

3.2. Esbeltez (\( \lambda \)):

\[ \lambda = \dfrac{L_{ef}}{i} = \dfrac{8,0}{0,1155} = 69,28 \]

4. Verificação da Esbeltez Limite (\( \lambda_{lim} \))

Conforme a NBR 6118, a esbeltez limite é dada por:

\[ \lambda_{lim} = \dfrac{C_1 \times C_2 \times C_3}{\sqrt{\phi_{ef}}} \]

Onde:

\( C_1 \) = 0,7 (considerando distribuição uniforme de momentos)
\( C_2 \) = 1,0 (para pilares com armadura transversal adequada)
\( C_3 \) = 1,0 (para concreto com \( f_{ck} \leq 50 \, \text{MPa} \))
\( \phi_{ef} \) = 1,0 (considerando fluência média)

Então:

\[ \lambda_{lim} = \dfrac{0,7 \times 1,0 \times 1,0}{\sqrt{1,0}} = 0,7 \times 1 = 0,7 \times 140 = 98 \]

Multiplicamos por 140 para obter a esbeltez limite padrão:

\[ \lambda_{lim} = 0,7 \times 140 = 98 \]

Como \( \lambda = 69,28 < \lambda_{lim} = 98 \), o pilar está dentro da esbeltez limite, mas ainda assim devemos considerar os efeitos de segunda ordem devido ao valor elevado da esbeltez.

5. Cálculo dos Efeitos de Segunda Ordem

Os efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de 1ª ordem, quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada da estrutura. Quanto mais esbelta for a peça, maior será a importância de sua consideração.

5.1. Módulo de Elasticidade Secante do Concreto (\( E_{cs} \)):

O Módulo de Elasticidade Secante do Concreto é uma propriedade importante que representa a relação entre tensão e deformação do material sob carregamento.

\[ E_{cs} = \dfrac{E_{c}}{\gamma_{c}} \]

Onde:

\( E_{c} \) é o módulo de elasticidade do concreto (para C30, \( E_{c} = 31 \, \text{GPa} \))
\( \gamma_{c} = 1,4 \) (coeficiente parcial de segurança do concreto)

Então:

\[ E_{cs} = \dfrac{31 \times 10^6}{1,4} = 22,14 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2 \]

5.2. Carga Crítica de Euler (\( N_{e} \)):

A carga crítica de Euler, também conhecida como carga de flambagem, é um conceito fundamental na análise de estabilidade de colunas e barras esbeltas submetidas a esforços de compressão

\[ N_{e} = \dfrac{\pi^2 \times E_{cs} \times I_y}{(L_{ef})^2} = \dfrac{\pi^2 \times 22,14 \times 10^6 \times 0,0010667}{(8,0)^2} \]

Calculando:

\[ N_{e} = \dfrac{9,8696 \times 22,14 \times 10^6 \times 0,0010667}{64} = \dfrac{9,8696 \times 22,14 \times 0,0010667 \times 10^6}{64} \]

\[ N_{e} = \dfrac{232,97 \times 10^3}{64} = 3.640 \, \text{kN} \]

5.3. Coeficiente de Fluência (\( \phi \)):

O Coeficiente de Fluência é um parâmetro importante na análise do comportamento do concreto ao longo do tempo.

Para simplificar, adotamos \( \phi = 1,4 \) (valor típico para concreto comum).

5.4. Cálculo do Coeficiente Reduzido (\( \nu \)):

\[ \nu = \dfrac{1}{1 + \phi} \]

\[ \nu = \dfrac{1}{1 + 1,4} = \dfrac{1}{2,4} = 0,4167 \]

5.5. Cálculo do Coeficiente de Amplificação (\( \gamma_z \)):

O Coeficiente de Amplificação, também conhecido como Fator de Amplificação Dinâmica (FAD), é a relação entre a resposta dinâmica máxima de uma estrutura e sua resposta estática equivalente.

\[ \gamma_z = \dfrac{1}{1 - \dfrac{N_{sd}}{\nu \times N_{e}}} \]

\[ \gamma_z = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1120}{0,4167 \times 3640}} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1120}{1.517}} = \dfrac{1}{1 - 0,7382} = \dfrac{1}{0,2618} = 3,820 \]

Como \( \gamma_z > 1.4 \), devemos realizar uma análise mais detalhada dos efeitos de segunda ordem, possivelmente utilizando métodos mais rigorosos como o P-Delta ou modelos numéricos.

No entanto, para fins deste exemplo, continuaremos com o cálculo.

6. Cálculo do Momento de Cálculo (\( M_{sd} \))

6.1. Excentricidade Inicial Mínima (\( e_0 \)):

\[ e_0 = \mathrm{max} \left( \dfrac{L_0}{300}; \dfrac{h}{30}; 20 \, \text{mm} \right) \]

Calculando:

\( \dfrac{L_0}{300} = \dfrac{4,0}{300} = 0,0133 \, \text{m} \)
\( \dfrac{h}{30} = \dfrac{0,40}{30} = 0,0133 \, \text{m} \)
\( 20 \, \text{mm} = 0,020 \, \text{m} \)

Então:

\[ e_0 = \mathrm{max}(0,0133; 0,0133; 0,020) = 0,020 \, \text{m} \]

6.2. Momento Inicial de Cálculo (\( M_{0d} \)):

\[ M_{0d} = N_{sd} \times e_0 = 1120 \times 0,020 = 22,4 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]

6.3. Momento de Cálculo Amplificado (\( M_{sd} \)):

\[ M_{sd} = \gamma_z \times M_{0d} = 3,820 \times 22,4 = 85,57 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]

7. Verificação da Resistência da Seção

7.1. Resistência do Concreto (\( f_{cd} \)):

\[ f_{cd} = \dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} = \dfrac{30}{1,4} = 21,43 \, \text{MPa} \]

7.2. Resistência do Aço (\( f_{yd} \)):

\[ f_{yd} = \dfrac{f_{yk}}{\gamma_s} = \dfrac{500}{1,15} = 434,78 \, \text{MPa} \]

7.3. Dimensionamento da Armadura Longitudinal (\( A_s \))

Para determinar \( A_s \), precisamos verificar se a seção resiste aos esforços \( N_{sd} \) e \( M_{sd} \).

Utilizaremos o domínio 3 de deformação (compressão balanceada) para simplificar o cálculo.

7.4. Cálculo da Altura da Linha Neutra (\( x \))

No domínio 3, a deformação máxima do concreto é \( \epsilon_c = 0,0035 \), e a deformação no aço de tração é \( \epsilon_s > 0 \).

A força resistente de compressão no concreto:

\[ C_c = 0,85 \times f_{cd} \times b \times x \]

A força resistente de tração no aço:

\[ T_s = A_s \times f_{yd} \]

Equilibrando as forças:

\[ C_c = N_{sd} \]

Então:

\[ 0,85 \times f_{cd} \times b \times x = N_{sd} \]

Isolando \( x \):

\[ x = \dfrac{N_{sd}}{0,85 \times f_{cd} \times b} \]

\[ x = \dfrac{1120 \times 10^3}{0,85 \times 21,43 \times 10^6 \times 0,20} = \dfrac{1120 \times 10^3}{3,6421 \times 10^6} = 0,3075 \, \text{m} \]

Verificando se \( x \leq x_{lim} \) (para domínio 3):

\[ x_{lim} = 0,45 \times d \]

Onde \( d \) é a altura útil da seção:

\[ d = h - cobrimento - \dfrac{\phi}{2} \]

Adotando:

Cobrimento nominal = 25 mm = 0,025 m
Diâmetro da barra (\( \phi \)) = 16 mm = 0,016 m

Então:

\[ d = 0,40 - 0,025 - \dfrac{0,016}{2} = 0,40 - 0,025 - 0,008 = 0,367 \, \text{m} \]

Calculando \( x_{lim} \):

\[ x_{lim} = 0,45 \times 0,367 = 0,1652 \, \text{m} \]

Como \( x = 0,3075 \, \text{m} > x_{lim} = 0,1652 \, \text{m} \), o pilar está no domínio 4 (compressão plástica).

Neste caso, devemos verificar a capacidade resistente à flexão composta normal, utilizando o momento resistente da seção.

7.5. Cálculo do Momento Resistente (\( M_Rd \))

O momento resistente é dado por:

\[ M_{Rd} = N_{sd} \times (e_c - e_{2}) \]

Onde:

\( e_c \) é a excentricidade correspondente à posição da resultante de compressão.
\( e_{2} \) é a excentricidade acidental (já considerada mínima).

No domínio 4, considera-se que o momento resistente é mínimo, e a seção não é capaz de resistir ao momento solicitante calculado. Portanto, precisamos aumentar a área de armadura ou modificar a seção.

7.6. Alternativa: Aumentar a Seção ou a Armadura

Para que a seção resista aos esforços solicitantes, podemos:

Aumentar as dimensões da seção (b e/ou h).
Aumentar a área de armadura longitudinal (\( A_s \)).

7.7. Cálculo da Área de Armadura Necessária

Utilizando diagramas de interação ou software especializado, podemos determinar \( A_s \) necessária para resistir aos esforços \( N_{sd} = 1120 \, \text{kN} \) e \( M_{sd} = 85,57 \, \text{kN} \cdot \text{m} \).

Para fins ilustrativos, vamos supor que, após cálculos, a área de armadura necessária seja:

\[ A_s = 4.000 \, \text{mm}^2 \]

Verificando se está dentro dos limites normativos:

Taxa mínima de armadura (\( \rho_{min} \)):

\[ \rho_{min} = 0,15\% \quad \text{ou} \quad A_{s_{min}} = 0,0015 \times A_c = 0,0015 \times 80.000 = 120 \, \text{mm}^2 \]

Taxa máxima de armadura (\( \rho_{max} \)):

\[ \rho_{max} = 4\% \quad \text{ou} \quad A_{s_{max}} = 0,04 \times 80.000 = 3.200 \, \text{mm}^2 \]

Como \( A_s = 4.000 \, \text{mm}^2 > A_{s_{max}} = 3.200 \, \text{mm}^2 \), não é permitido.

7.8. Solução Final

Dado que não é possível aumentar a armadura além do máximo permitido, a solução é aumentar as dimensões da seção do pilar.

Por exemplo, aumentar \( b \) de 20 cm para 30 cm:

Nova área: \( A_c = 0,30 \times 0,40 = 0,12 \, \text{m}^2 \)
Recalcular todos os passos anteriores com a nova seção.